TUGAS 3 PENGANTAR DASAR MATEMATIKA

TUGAS 3 PENGANTAR DASAR MATEMATIKA

BUKTIKAN KESAHAN ATURAN PENYIMPULAN BERIKUT:

1.Modus Ponens(MP)
p→q
P
.˙. q

[(p→q)Λp]→q
≡[~(~pvq)Λp]vq ( imp)
≡[(pΛ~q)vp]vq (Komp.DM)
≡[( pv~p)Λ(~pv~q)]vq (Dist.)
≡[TΛ(~pv~q)]vq (Komp.)
≡(~pv~q)vq ( Id.)
≡~pv(~qvq) (As)
≡~pvT (Komp.)
≡T (Id)

2. Modus Tolens (MT)

p→q
~q
.˙. ~p

[(p→q)Λ~q]→~p
≡[~(~pvq)Λ~q]v~p ( imp)
≡[(pΛ~q)vq]v~p (Komp.DM)
≡[( pvq)Λ(qv~q)]v~p (Dist.)
≡[(pvq)ΛT]v~p (Komp.)
≡(pvq)v~p (Id)
≡(qvp)v~p (kom)
≡qv(pv~p) (As)
≡qvT (Komp.)
≡T (Id)

3. Silogisme
p→q
q→r
.˙. p→r

(p→q)Λ(q→r) →(p→r)
≡[~(p→q)v~(q→r)]v(p→r) (imp)
≡[~(~pvq)v~(~qvr)]v(~pvr) (imp)
≡[(pΛ~q)v(qΛ~r)]v(~pvr) (DM)
≡{[( pΛ~q)vq]Λ[(pΛ~q)v~r]} v(~pvr) (dist)
≡{≡[(pΛ~q)v(qΛ~r)]v(~pvr) (DM]Λ[(pv~r)Λ(~qv~r]} v(~pvr) (dist)
≡{[( pvq)ΛT]Λ[(pv~r)Λ(~qv~r]} v(~pvr) (komp)
≡[( pvq)Λ(pv~r)Λ(~qv~r)]v(~pvr) (id)
≡{[(pvq)v~p]Λ[(pv~r)v~p]Λ[(~qv~r)v~p]}vr (dist)
≡{[(pv~p)vq]Λ[(pv~p)v~r)]Λ[(~qv~r)]}v r (asso)
≡[( T vq)Λ(Tv~r)Λ[(~qv~r)]}v r (komp)
≡ [(TΛTΛ(~qv~r)]vr (id)
≡(~qv~r)vr (id)
≡~qv(~rvr) (asso)
≡~qv T (komp)
≡ T (id)

4. Distruktive Silogisma (DS)
pvq
~p
.˙. q

[(pvq)Λ~p]→q
≡(pΛ~p)v(qΛ~p)→q (dist)
≡ Fv(qΛ~p)→q (komp)
≡ (qΛ~p)→q (id)
≡ ~(qΛ~p)vq (imp)
≡ (~qvp)vq (DM)
≡ (pv~q)vq (kom)
≡ pv(~qvq) (asso)
≡ pv(qv~q) (kom)
≡ pvT (komp)
≡ T (id)

5. Konstruktive Dilema (KD)
(p→q)Λ(r→s)
(pvr)
.˙.qvs

{[(p→q)Λ(r→s)]Λ(pvr)}→( qvs)
≡[(~pvq)Λ(~rvs)Λ(pvr)]→(qvs) (imp)
≡[(pΛ~q)v(rΛ~s)v(~pΛ~r)]v(qvs) (imp)
≡[( pΛ~q)v(rΛ~s)v(qvs)]v(~pΛ~r) (asso)
≡{[( pΛ~q)vq]v[(rΛ~s)vs]}v(~pΛ~r) (asso)
≡{[qv( pΛ~q)]v[sv(rΛ~s)]} v(~pΛ~r) (kom)
≡{[(qvp)Λ(qv~q]v[(svr)Λ(sv~s)]}v(~pΛ~r) (dist)
≡[(qvp)ΛT]v[(svr)ΛT]v(~pΛ~r) (komp)
≡[(qvp)v(svr)]v(~pΛ~r) (id)
≡(qvpvsvr)v(~pΛ~r) (asso)
≡(qvs)v(pvr) v(~pΛ~r) (asso)
≡(qvs)v[(pvr)v~(pvr)] (DM)
≡(qvs)vT (komp)
≡ T (id)

6. Distruktif Delema (KD)
(p→q)Λ(r→s)
~qv~s
.˙.~pv~r

{[(p→q)Λ(r→s)]Λ(~qv~s)}→ (~pv~r)
≡[(~pvq)Λ(~rvs)Λ(~qv~s)}→ (~pv~r) (imp)
≡[(pΛ~q)v(rΛ~s)v(qΛs)]v(~pv~r) (imp)
≡[(pΛ~q)v(qΛs)]v[(rΛ~s)v(~pv~r)] (asso)
≡{[(pΛ~q)vq]Λ[(pΛ~q)vs]v[(rΛ~s)v(~pv~r)]} (asso)
≡{[(pvq)Λ(~qvq)]Λ[(pvs)Λ(~qvs)]v[(rΛ~s)v(~pv~r)]} (dist)
≡{[(pvq)Λ(~qvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)]}v{[(rΛ~s)v~r]v~p} (asso)
≡{[(pvq)Λ(~qvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)]}v{[(rv~r)Λ(~sv~r)]v~p} (dist)
≡{[(pvq)Λ T Λ(pvs)Λ(~qvs)]}v{[ T Λ(~sv~r)]v~p} (komp)
≡[(pvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)]v[(~sv~r)v~p] (id)
≡[(pvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)v~p]v(~sv~r) (asso)
≡[(pvq)Λ(pvs)Λ(~qvs)v~p]v(~sv~r) (asso)
≡[(pvq v~p)Λ(pvs v~p)Λ(~qvs v~p)]v(~sv~r) (dist)
≡{[(pv~p)vq]Λ[(pv~p)vs]Λ(~qvs v~p)]v(~sv~r) (asso)
≡[( T vq)Λ( T vs)Λ(~qvs v~p)]v(~sv~r) (komp)
≡(TΛ T)Λ(~qvs v~p)v(~sv~r) (id)
≡(~qvs v~p)v(~sv~r) (id)
≡(sv~sv)v(~pv~qv~r) (asso)
≡ T v (~pv~qv~r) (komp)
≡ T (id)

tugas 2 PDM

Exercise 1: Tentukan invers,konvers, dan kontraposisi dari proporsi berikut ini!
1) (p∧q)⇒r

• invers : ¬(p∧q) ⇒ ¬r

≡ ¬p∨¬q ⇒ ¬r

• konvers : r ⇒ (p∧q)

• kontraposisi:¬r ⇒ ¬(p∧q)

≡¬r ⇒ ¬p∨¬q
2) p ⇒ (q∧r)

• invers:¬p ⇒ ¬(q∧r)

≡¬p ⇒ ¬q∨¬r


• konvers : (q∧r) ⇒ p

• kontraposisi : ¬(q∧r) ⇒ ¬p

≡¬q∨¬r ⇒ ¬p

3) ¬p ⇒ (q∧¬r)


• invers : p ⇒ ¬(q∧¬r)

≡p ⇒ ¬q∨r


• konvers : (q∧¬r)⇒ ¬p

• kontraposisi :¬(q∧¬r)⇒ p

≡¬q∨r ⇒ p

4)(p∨¬q) ⇒ (q∧r)


• invers : ¬(p∨¬q) ⇒ ¬(q∧r)

≡¬p∧q ⇒ ¬q∨¬r


• konvers:(q∧r)⇒ (p∨¬q)

• kontraposisi : ¬(q∧r)⇒¬(p∨¬q)

≡¬q∨¬r ⇒ ¬p∧q

5) (¬q∧¬r)⇒ (¬p∨q)

• invers : ¬(¬q∧¬r)⇒ ¬(¬p∨q)

≡ q∨r ⇒ p∧¬q

• konvers:(¬p∨q)⇒ (¬q∧¬r)

• kontraposisi :¬(¬p∨q)⇒ ¬(¬q∧¬r)

≡ p∧¬q ⇒ q∨r

6) (q∨¬r) ⇒ (p∧r)

• invers : ¬(q∨¬r) ⇒ ¬(p∧r)

≡ ¬q∧r ⇒ ¬p∨¬r

• konvers:(p∧r) ⇒ (q∨¬r)

• kontraposisi :¬(p∧r) ⇒ ¬(q∨¬r)

≡ ¬p∨¬r ⇒ ¬q∧r


Exercise 2: Tentukan invers,konvers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut ini!
a) Jika hasil produksi melimpah maka harganya turun.
invers : Jika hasil produksi tidak melimpah maka harganya naik.
konvers: Jika harganya turun maka hasil produksi melimpah.
kontraposisi: Jika harganya naik maka hasil produksi tidak melimpah.

b) Jika lapangan pekerjaan tidak banyak maka pengangguran meningkat.
invers : Jika lapangan pekerjaan banyak maka pengangguran tidak meningkat.
konvers: Jika pengangguran meningkat maka lapangan pekerjaan tidak banyak.
kontraposisi: Jika pengangguran tidak meningkat maka lapangan pekerjaan tidak banyak.

c) Jika ABCD bujur sangkar maka ABCD segi empat.
invers : Jika ABCD bukan bujur sangkar maka ABCD bukan segi empat.
konvers: Jika ABCD segi empat maka ABCD bujur sangkar.
kontraposisi:Jika ABCD bukan segi empat maka ABCD bukan bujur sangkar.

d) Jika x > 10 maka x² >100
invers : Jika x ≤ 10 maka x² ≤ 100
konvers: Jika x² >100 maka x > 10
kontraposisi: Jika x² ≤ 100 maka x ≤ 10

e) Jika x² - 16 = 0, maka x=4 atau x=-4
invers : Jika x² - 16 ≠0,maka x≠4 dan ≠-4
konvers: Jika x=4 atau x=-4, maka x² - 16 = 0
kontraposisi: Jika x≠4 dan ≠-4, maka x² - 16 ≠0

f) Jika sin x = 90⁰ - cos x, maka x merupakan sudut lancip.
invers : Jika sin x ≠ 90⁰ - cos x, maka x bukan merupakan sudut lancip.
konvers: Jika x merupakan sudut lancip, maka sin x = 90⁰ - cos x.
kontraposisi: Jika x bukan merupakan sudut lancip, maka sin x ≠ 90⁰ - cos x.

g) Jika tan x =-1, maka x=135⁰ dan x=315⁰
invers : Jika tan x ≠ -1, maka x≠135≠⁰ atau x≠315⁰
konvers: Jika x=135⁰ dan x=315⁰ ,maka tan x =-1
kontraposisi: Jika x≠135≠⁰ atau x≠315⁰ , maka tan x ≠ -1.

Exercise 3: Cari soal-soal preposisi dan tentukan ingkarannya!
1) The Beatles adalah grup musik dari inggris dan John Lenonn meninggal akibat penembakan.
Ingkaran: The Beatles bukan grup musik dari Inggris atau John Lennon meninggal bukan akibat penembakan.

2) Rani atlet lompat tinggi atau Rani penari balet.
Ingkaran: Rani bukan atlet lompat tinggi dan Rani bukan penari balet.

3) Jika x aktor, maka x pandai berakting.
Ingkaran, PBE :
a. Tidak benar bahwa jika x aktor maka x pandai berakting.
b. Tidak benar bahwa semua aktor pandai berakting.
c. Tidak semua aktor pandai berakting.
d. Ada aktor yang tidak pandai berakting.
e. X adalah aktor, akan tetapi x tidak pandai berakting.

4) Jika tim futsal SMA 46 menang, maka pemainnya mendapat beasiswa atau bebas SPP.
Ingkaran : Tim futsal SMA 46 menang, akan tetapi pemainnya tidak mendapat beasiswa dan bebas SPP.

5) Jika buah x berwarna merah, maka buah x mengandung vitamin A.
Ingkaran, PBE :
a) Tidak benar bahwa jika buah x berwarna merah, maka buah x mengandung vitamin A.
b) Tidak benar bahwa semua buah berwarna merah mengandung viitamin A.
c) Tidak semua buah berwarna merah mengandung viitamin A.
d) Ada buah berwarna merah yang tidak mengandung vitamn A.
e) X buah berwarna merah, akan tetapi x tidak mengandung vitamin A.









































Tugas 1

Kelompok 4 Rombel 1

1. Kalimat Pernyataan

• Jas almamater UNNES berwarna kuning.
• Indonesia dijajah Belanda selama 3,5 abad.
• Bulan adalah satelit Bumi.
• Presiden pertama Indonesia adalah Soekarno.
• Planet yang paling dekat dengan Matahari adalah Venus.

2. Kalimat Terbuka

• x + 6 = 13
• 4x - 7 = 5
• y - 3 > 10
• C adalah bilangan asli antara 1 dan 5
• y + 10 <>

3. Kalimat Perintah

• Tutup pintu itu !
• Buanglah sampah pada tempatnya !
• Jangan berisik !
• Kerjakan tugasmu !
• Jangan menyontek !

4. Kalimat Tanya

• Siapa nama guru matematikamu ?
• Siapa nama pacarmu ?
• Kapan kamu pulang ?
• Darimana kamu ?
• Kemana setelah kamu mati ?

5. Kalimat Harapan

• Mudah-mudahan IP saya 4,00.
• Semoga selamat dalam perjalanan.
• Saya ingin mendapat beasiswa.
• Saya berharap mendapat jodoh yang cantik.
• Semoga hari esok lebih baik dari sekarang.
  

6. Kalimat Faktual

• Rossi menjuarai sirkuit misano.
• Hari ini terasa panas.
• Hari ini ada acara buka puasa bersama kakak kelas.
• Besok ada acara Tablik Akbar.
• Hari ini ada praktikum Biologi.